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5.3 Definición de raíz

La  se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando. Toda la expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión radical. Otra parte de una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la expresión. Las raíces cuadradas tienen un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo general no se escribe.

 

Significa .Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por ejemplo  es la raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.

 se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8

 se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x

 se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es

 

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa.

La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como , es el número positivo cuyo cuadrado es igual a x.

 

Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no son número reales. Consideremos  ¿A que es igual ? Para evaluar esto, , debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado de cualquier número distinto de cero debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún número elevado al cuadrado da –4 y  no tiene valor real. Los números como  o la raíz cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números imaginarios.

 

Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los números cuadrados perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números cuadrados perfectos porque cada uno de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando un número cuadrado perfecto es un factor de un radicando, nos referimos a él como un factor cuadrado perfecto.

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... número naturales

12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, ... cuadrados de los número naturales

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... números cuadrados perfectos

Un número racional es aquel que se puede escribir de la forma , donde a y b son enteros diferentes de cero (b¹0). Todos los enteros son números racionales, por que se pueden expresar con un denominador igual a 1. Las raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos también son números racionales porque cada uno es un entero. Cuando un número racional se escribe como decimal, será un decimal finito o periódico.

Decimal finito

Decimal periódico

 

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Al escribir los números irracionales como decimales, no son decimales infinitos ni periódicos. La raíz cuadrada de cualquier entero positivo que no sea un cuadrado perfecto es un número irracional.

Por ejemplo,  y  son números irracionales.


 

Número cuadrado

perfecto

Raíz cuadrada del número cuadrado perfecto

Valor

1

Ö1

1

4

Ö4

2

9

Ö9

3

16

Ö16

4

25

Ö25

5

36

Ö36

6

49

Ö49

7

64

Ö64

8

81

Ö81

9

100

Ö100

10

121

Ö121

11

144

Ö144

12

169

Ö169

13

196

Ö196

14

225

Ö225

15

256

Ö256

16

289

Ö289

17

324

Ö324

18

361

Ö361

19

400

Ö400

20

 

Clasificar los números que aparecen en la tabla siguiente; los que sean racionales expresarlos como el cociente de dos enteros.

 

 

NUMERO

-3

0

20%

0.333...

.333

Entero positivo

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Entero negativo

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

Racional

a

a

a

a

a

a

a

a

 

a

 

a

Cociente de dos enteros

 

 

Irracional

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

Hay ocasiones en que es más conveniente trabajar con radicales que con exponentes racionales y viceversa. Con frecuencia es preferible intercambiar las dos formas. Las siguientes relaciones son útiles al respecto:

 

 

Considera que para b no negativo, cuando n es par

 

Los siguientes ejemplos deben aclarar el proceso de cambiar una forma por la otra. Todas las variables representan números reales positivos.

 

o bien

 

 

 

 

Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias propiedades de los radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:

 

Ejemplo:

 

 o bien

 

 o bien

 

 

 

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UMSNH Salvador González Sánchez 2005