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6.3 Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente:

a)      Se eliminan los radicales, en caso de que los haya.

b)      Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este modo los paréntesis y los signos de agrupación.

c)      Se suprimen los denominadores, sí los hay.

d)      Se trasponen y reducen términos.

e)      Se despeja la incógnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores.

f)        Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

 

 

Ejemplo

Resolver la ecuación

 

Solución: Trasponemos el término  al primer miembro

 

 

A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro.

5 +x -5 = 7 -5

x = 2

 

Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada.

5 +4(2) = 3(2) +7

5 +8 = 6 +7

13 = 13, tal como queríamos comprobar

 

Ejemplo

Resolver la ecuación                  2(x+1) +3(x-2) = x +3

 

Solución:

Se suprimen los paréntesis              2x +2+3x-6= x +3

Trasponemos la x:                           5x -4 –x = xx +3

O sea, 4x -4 = 3, trasponemos el término -4 tendremos: 4x -4 +4 = 3 +4

O sea 4x = 7. Dividamos ambos miembros por 4: .  Es decir x = 7/4

Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada.

 

 

 

Ejemplo

Resuelve la ecuación 8x +7 = 9x +3

Solución

1.- La ecuación ya está simplificada: 8x +7 = 9x +3

2.- Resta 7 de ambos lados.

3.- Resta 9x de ambos lados

Puesto que –x = -4, entonces x = -(-4) = 4, y la solución es 4

Comprobación

 

Cada una de las ecuaciones tenía exactamente una solución. Cuando se da una ecuación que puede escribirse como ax+b=c, existen tres posibilidades para la solución:

 

1)      La ecuación tiene una sola solución. Se trata de una ecuación condicional.

2)      La ecuación no tiene solución. Es una ecuación contradictoria.

3)      La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Es una identidad.

 

 

Solución de una ecuación contradictoria.

 

Ejemplo

Resuelva 3 +8(x+1) = 5 +8x

 

Solución:

a)      Simplificar aplicando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes.

 

b)      Restar 5 de ambos términos.

 

c)      Restar 8x de ambos lados

 

La proposición 6=0 es una proposición falsa. Cuando esto ocurre, indica que la ecuación no tiene solución, es decir, es una ecuación contradictoria y escribimos “no hay solución”.

 

 

Solución de una ecuación con un número infinito de soluciones.

 

Ejemplo

Resolver 7+2(x+1) = 9+2x

 

Solución:

1.-        Simplificamos usando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes.

 

Nos podríamos detener aquí. Puesto que ambos lados son idénticos, la ecuación es una identidad. Todo número real es una solución. Pero ¿Qué pasa si continúa?. Veamos

 

2.-        Restar 9 de ambos lados

 

3.-        Restar 2x de ambos lados.

 

La proposición 0=0 es una proposición verdadera. Cuando esto ocurre, indica que cualquier número real es una solución. La ecuación tiene un número infinito de soluciones y escribimos “todos los números reales” para la solución.

 

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UMSNH Salvador González Sánchez 2005