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6.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

 

 

Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de  dos o más ecuaciones que tienen idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.

La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas constara de dos ecuaciones independientes; así un sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas constara de tres ecuaciones independientes; etc.

Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles.

Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las soluciones son las mismas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuación por un mismo número.

x +y = 4

2x +2y = 8

Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son las que  no se obtienen una de la otra.

Entendemos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones simultáneamente, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando encontramos todas las soluciones de un sistema, decimos que hemos resuelto el sistema.

 

Ejemplo

Determinar si (1,2) es una solución del sistema

 

y=x+1

2x+y=4

y=x+1

2=1+1

2=2

 

2x+y=4

2(1)+2=4

2+2=4

4=4

 

 

 

 (1, 2) es una solución del sistema

 

Determinar si (-3, 2) es una solución del sistema.

 

a+b=-1

b+3a=4

 

a+b=-1

-3+2=-1

-1=-1

b+3a=4

2+3(-3)=4

2-9=4

 

-7=4

Ya que (-3, 2) no es una solución de b+3a=4, no es una solución del sistema.

 

 

Solución de ecuaciones lineales

 

Ejemplo

Resolver

 

1.-        Elimina cualquier fracción multiplicando cada término en ambos lados de la ecuación por el M.C.M. de los denominadores.

 

2.-        Elimina los paréntesis y une los términos semejantes, simplificando si es necesario.

 

3.-        Suma o resta el mismo número en ambos lados de la ecuación de manera que los números aislados en un solo lado.

 

4.-        Suma o resta el mismo término o expresión en ambos lados de la ecuación de modo que las variables queden asiladas en el otro lado.

 

5.-        Si el coeficiente de la variable no es 1, divide ambos lados de la ecuación entre este coeficiente (o, de manera equivalente multiplica por el recíproco del coeficiente de la variable)

 

6.-        Asegurate de comprobar la respuesta en la ecuación original.

 

Ejemplo

Resolver

1.-        Eliminamos las fracciones; el MCM es 24

 

2.-        Restando 4

 

3.-        Dividiendo entre 3 (o multiplica por el recíproco 3)

 

4.-        Comprobación

 

Ejemplo

Resolver

1.-        Eliminamos las fracciones; el MCM es 20

 

2.-        Simplifica y aplica la ley distributiva.

 

3.-        Restando 4

 

 

 

4.-        Resta 14x

 

5.-        Dividiendo entre -19 (o multiplica por el recíproco -19)

 

4.-        Comprobación

 

El procedimiento para resolver ecuaciones lineales que acabamos de describir, también es útil para resolver algunas ecuaciones literales.

 

Una ecuación literal es una ecuación que contiene varias variables. En el mundo de los negocios, de la ciencia y la ingeniería, estas ecuaciones literales usualmente aparecen a manera de fórmulas como la del área de un circulo de radio r (A=pr2), el interés ganado sobre un capital C a una tasa t dada durante cierto período p (I=ctp), y así sucesivamente. Por desgracia, estas fórmulas no siempre están en la forma que necesitamos para resolver el problema de una manera práctica.

 

Aquí es donde entran los primeros cinco pasos de nuestro procedimiento. Para solucionar una variable en particular de una de estas fórmulas, podemos usar los métodos que acabamos de aprender. Por ejemplo, resolvamos C en la fórmula I=Ctp. Para dar seguimiento a la variable C, primero la marcamos:

 

 

 

 

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UMSNH Salvador González Sánchez 2005