Anterior

Índice

Siguiente

 

6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica

 

PROCEDIMIENTO

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:

1.             Resuelve una de las ecuaciones para x o y.

2.            Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una ecuación con una variable).

3.            Resuelve la nueva ecuación para la variable.

4.            El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable.

5.            La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las variables en ambas ecuaciones

 

Ejemplo 1

Resuelve:

Solución  Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos:

1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos aquí la primera ecuación para y). y = 8 - x

2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y.  2x – 3(8 – x) = -9

3. Resuelve la nueva ecuación para la variable:

                      2x – 3(8 – x)   =  -9

                       2x – 24 +3x   =  -9                   Simplificando

                               5x – 24   = -9                   Combinando términos semejantes

                                       5x   =  15                  Suma 24 a ambos lados

                                         x   =  3                    Divide entre 5

4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5.

5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero.

Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en

                              2(3) – 3(5)  =  -9

                                     6 – 15  = -9

                                            -9  = -9

Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es correcta.

Ejemplo 2

Solución de un sistema inconsistente.

Resuelve el sistema

Solución   Utiliza el procedimiento de los cinco pasos

1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera  ecuación para x)  x = 4 -2y

2. Sustituimos x = 4 -2y  en la segunda ecuación

                                  2(4 –2y) = -4y +6

                                      8 –4y = -4y +6               Simplificamos

                               8 –4y +4y = -4y +4y +6        Suma 4y

                                             8  =  6

3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente.

4. No necesitamos el paso 4

5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes  x = -2y+3 o     x +2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4.

 

Ejemplo 3

Solución de un sistema dependiente

Resuelve el sistema

Solución. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos.

1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y

2. Sustituye x=4 –2y  en 4y +2x= 8

                           4y +2(4 –2y)  = 8

                               4y +8 –4y  = 8            Simplifica

                                             8  = 8

3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposición verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y.

4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir tienen un número infinito de soluciones.

5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuación x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2. De manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuación 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8, o y = 2, de modo que (0, 2) es una solución para ambas ecuaciones. También puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)es otra solución, y así sucesivamente. Nótese que si se divide la segunda ecuación entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que resulta idéntica para la primera ecuación. De este modo cualquier solución de la primera ecuación también es la solución de la segunda ecuación; es decir la solución consiste en todos los puntos de la ecuación x +2y= 4.

 

Ejemplo 4

Simplificación y solución de un sistema por sustitución.

Resuelve la ecuación

Solución. La segunda ecuación tiene x y constantes en ambos lados, de modo que primero se simplifica sumando 4x  y restando 6 de ambos lados para obtener

                     6 –3x +y +4x –6     = -4x +5 +4x – 6

                                       x + y     = -1

Ahora tenemos el sistema equivalente:

                                          -2x     = -y +2

                                       x + y     = -1

Al resolver la segunda ecuación para x obtenemos x= -y –1. Al escribir y –1 en lugar de x en -2x = -y +2

                                          -2x     = -y +2

                                   -2y –1     = -y +2     Suma y, resta 2

                                      2y +2     = -y +2     Divide entre 3

                                           3y     = 0

                                             y     = 0

Puesto que x= -y –1 y y = 0, tenemos que

                                             x     = 0 – 1= -1

De este modo el sistema es consistente y su solución es (-1, 0). Esto se comprueba escribiendo –1 en lugar de x  y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales.

 

Ejemplo 5

Solución de un sistema que incluye fracciones.

Si un sistema tiene ecuaciones con fracciones, eliminamos las fracciones multiplicando cada lado por el MCD (mínimo común denominador), para luego resolver el sistema resultante, como se muestra a continuación.

Resuelve la ecuación:

Solución. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 4 y ambos lados de la segunda ecuación por 8 (el MCD de 4 y 8) para obtener

  o de manera equivalente                           8x +y = -4

  o de manera equivalente                         2x +3y  = 10

Al resolver la primera ecuación para y, obtenemos y=-8x-4. Ahora escribimos –8x-4 en lugar de y en 2x +3y = 10

                          2x +3(–8x-4)     =   10

                           2x –24x –12     =   10         Simplificamos

                                        -22x     =   22         Dividimos entre –22

                                             x     =    -1

Al escribir –1 en lugar de  x en 8x + y = -4, obtenemos 8(-1) +y = -4 o  y = 4. De esta manera el sistema es consistente y su solución es (-1, 4)

 

Uso del Método de Determinantes para Resolver un Sistema de Ecuaciones.

La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como

Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones son horizontales y las columnas, verticales). A cada número del determinante se le llama elemento del propio determinante.

En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente:

donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generalización de los determinantes de orden superior. El primer número del subíndice indica el renglón en que está el elemento; y el segundo número, la columna. Así, a21 es el elemento situado en el segundo renglón y primera columna.

Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la siguiente formula:

Valor  de un determinante 2 x 2

Si a, b,.c y d son números, el determinante de la matriz  es

El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de los números de la diagonal principal.

menos el producto de los números de la otra diagonal

 

PROCEDIMIENTO

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden:

Para resolver el sistema donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s, son números reales.

1.             Consideramos el arreglo  que consta de los coeficientes de las variables.

2.            Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos

            Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.

3.            Con la notación observamos que la solución del sistema es

            Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 1

Resuelve el sistema utilizando los determinantes.

Solución  Calculamos primero el determinante del sistema.

Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos entre el determinante del sistema

Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante del sistema.

 

Comprobación  Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones

Primera ecuación:      5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10

Segunda ecuación     2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1

 

Ejemplo 2

Resuelve el sistema utilizando determinantes.

Solución  Calculamos el determinante del sistema.

Ahora calculemos el valor de w sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el determinante del sistema:

para calcular el valor de z sustituimos los valores  de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el determinante del sistema:

Comprobación  Sustituimos los valores w= 6 y z= en las ecuaciones

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

 

 

Valor de un determinante 3 x 3

 

Menor

de a1

Menor

de b1

Menor

 de c1

 

 

Para encontrar el menor de a1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que a1:

Para encontrar el menor de b1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que b1:

Para encontrar el menor de c1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que c1:

 

 

Ejemplo 2

Resuelve el determinante

Solución  Desarrollaremos el determinante a lo largo del primer renglón:

 

Menor

de 1

Menor

de 3

Menor

 de -2

 

Podemos evaluar un determinante 3 x 3 desarrollándolo a lo largo de cualquier renglón o columna. Para definir los signos entre los términos del desarrollo de un determinante 3 x 3, usamos el siguiente arreglo de signos:

Arreglo de signos para un determinante 3 x 3

+

-

+

-

+

-

+

-

+

 

Ejemplo 3

Resuelve el determinante desarrollándolo a lo largo de la columna intermedia

Solución  Se trata del determinante del ejemplo 2. Para desarrollarlo a lo largo de la columna intermedia:

 

Menor

de 3

Menor

de 1

Menor

 de 2

 

Como ya esperábamos, obtenemos el mismo valor que en el ejemplo 2.

 

 

 

Anterior

Índice

Siguiente

 

UMSNH Salvador González Sánchez 2005