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6.7.
Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación
geométrica PROCEDIMIENTO Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de
sustitución: 1.
Resuelve una de las ecuaciones para x o y. 2.
Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación.
(Ahora se tiene una ecuación con una variable). 3.
Resuelve la nueva ecuación para la variable. 4.
El valor de esa variable se sustituye en una de las
ecuaciones originales y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la
segunda variable. 5.
La solución se comprueba sustituyendo los valores
numéricos de las variables en ambas ecuaciones Ejemplo 1 Resuelve: Solución Utilicemos el procedimiento de los cinco
pasos: 1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos
aquí la primera ecuación para y). y = 8 - x 2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y. 2x – 3(8 – x) = -9 3. Resuelve la nueva ecuación para la variable: 2x – 3(8 – x) = -9 2x – 24 +3x = -9 Simplificando 5x – 24
= -9 Combinando
términos semejantes 5x = 15 Suma
24 a ambos lados x = 3 Divide
entre 5 4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la
ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8
Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5. 5. Comprobamos; cuando x=
3 y y=5; x
+ y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero. Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en 2(3) – 3(5) = -9 6 – 15 = -9 -9 = -9 Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es
correcta. Ejemplo 2 Solución de un
sistema inconsistente. Resuelve el sistema Solución Utiliza el procedimiento de los
cinco pasos 1. Resuelve la ecuación para una de las variables
(resolveremos aquí la primera ecuación
para x) x =
4 -2y 2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuación 2(4 –2y) =
-4y +6 8 –4y =
-4y +6 Simplificamos 8 –4y +4y =
-4y +4y +6 Suma 4y 8 = 6 3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es
verdadero. Es una contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es
incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente. 4. No necesitamos el paso 4 5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación
entre 2, obtienes x = -2y+3 o x +2y=3, lo que contradice a la primera
ecuación, x +2y = 4. Ejemplo 3 Solución de un
sistema dependiente Resuelve el sistema Solución. Como antes,
utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos. 1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y 2. Sustituye x=4 –2y en 4y +2x= 8 4y +2(4 –2y) = 8 4y +8 –4y = 8 Simplifica 8 = 8 3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso
obtuvimos la proposición verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le
asigne a x o a y. 4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir tienen un
número infinito de soluciones. 5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuación x +2y= 4, obtenemos 2y = 4,
o y = 2. De manera semejante, si
hacemos x=0 en la ecuación 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8,
o y = 2, de modo que (0, 2) es una
solución para ambas ecuaciones. También puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)es otra
solución, y así sucesivamente. Nótese que si se divide la segunda ecuación
entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que
resulta idéntica para la primera ecuación. De este modo cualquier solución de
la primera ecuación también es la solución de la segunda ecuación; es decir
la solución consiste en todos los puntos de la ecuación x +2y= 4. Ejemplo 4 Simplificación y solución de un
sistema por sustitución. Resuelve la ecuación Solución. La segunda ecuación tiene x y constantes en ambos lados, de modo
que primero se simplifica sumando 4x y restando 6 de ambos lados para obtener 6 –3x +y +4x
–6 = -4x +5 +4x – 6 x + y = -1 Ahora tenemos el sistema
equivalente: -2x =
-y +2 x + y =
-1 Al resolver la
segunda ecuación para x obtenemos x= -y –1. Al escribir –y –1 en lugar de x en -2x = -y +2 -2x =
-y +2 -2–y
–1 = -y +2 Suma y, resta 2 2y +2 =
-y +2 Divide entre 3 3y =
0 y =
0 Puesto que x= -y –1 y y = 0, tenemos que x =
0 – 1= -1 De este modo el sistema es consistente y su solución es (-1, 0).
Esto se comprueba escribiendo –1 en lugar de x y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales. Ejemplo 5 Solución de un
sistema que incluye fracciones. Si un sistema tiene ecuaciones con fracciones, eliminamos las
fracciones multiplicando cada lado por el MCD (mínimo común denominador),
para luego resolver el sistema resultante, como se muestra a continuación. Resuelve la ecuación:
Solución. Multiplicamos ambos
lados de la primera ecuación por 4
y ambos lados de la segunda ecuación por 8
(el MCD de 4 y 8) para obtener
Al resolver la primera ecuación para y, obtenemos y=-8x-4. Ahora escribimos –8x-4
en lugar de y en 2x +3y = 10 2x +3(–8x-4) = 10 2x –24x –12 = 10 Simplificamos -22x =
22 Dividimos
entre –22 x = -1 Al escribir –1 en lugar de x
en 8x + y = -4, obtenemos 8(-1) +y
= -4 o y = 4. De esta manera el sistema es consistente y su solución es
(-1, 4) Uso del Método de
Determinantes para Resolver un Sistema de Ecuaciones. La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como
Recibe el nombre de determinantes
de segundo orden. (Es importante advertir que los números se ordenan
entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro
significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas
(los renglones son horizontales y las columnas, verticales). A cada número
del determinante se le llama elemento del propio determinante. En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la
manera siguiente:
donde se usa una sola letra, con doble
subíndice, para facilitar la generalización de los determinantes de orden
superior. El primer número del subíndice indica el renglón en que está el
elemento; y el segundo número, la columna. Así, a21 es el elemento situado en el segundo renglón y
primera columna.
Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por
la siguiente formula: Valor de un determinante 2 x 2 Si a, b,.c y d son
números, el determinante de la
matriz El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el
producto de los números de la diagonal principal.
PROCEDIMIENTO Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de
determinantes de segundo orden: Para resolver el
sistema 1.
Consideramos el arreglo 2.
Obtenemos el denominador para ambas variables si
multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda
e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las
esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama
determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si
usamos símbolos
Recuerda que para calcular el
determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen
en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia
arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.
3.
Con la notación observamos que la solución del sistema es
Conviene observar, para recordar
la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante
de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador
consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del
sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos
independientes. Ejemplo 1 Resuelve el sistema Solución Calculamos primero el determinante del
sistema.
Ahora calculamos el valor de x
sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema
por los valores de los términos independientes y divididos entre el
determinante del sistema
Para calcular el valor de y
sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema
por los valores de los términos independientes y dividimos entre el
determinante del sistema.
Comprobación Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones Primera ecuación: 5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10 Segunda ecuación 2x +3y =
2(-8) +3(5) = -1 Ejemplo 2 Resuelve el sistema Solución Calculamos el determinante del sistema.
Ahora calculemos el valor de w
sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema
por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el
determinante del sistema:
para calcular el valor de z
sustituimos los valores de la segunda
columna del determinante del sistema por los valores de los términos
independientes y dividiendo entre el determinante del sistema:
Comprobación Sustituimos los valores w= 6 y z= Primera ecuación: Segunda ecuación: Valor de un
determinante 3 x 3
Para encontrar el menor de a1, formamos un determinante
tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y
en la misma columna que a1:
Para encontrar el menor de c1, formamos un determinante
tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y
en la misma columna que c1:
Ejemplo 2 Resuelve el determinante Solución Desarrollaremos el determinante a lo largo
del primer renglón:
Podemos evaluar un determinante 3 x 3 desarrollándolo a lo largo de
cualquier renglón o columna. Para definir los signos entre los términos del
desarrollo de un determinante 3 x 3, usamos el siguiente arreglo de signos: Arreglo de signos para un
determinante 3 x 3
Ejemplo 3 Resuelve el determinante Solución Se trata del determinante del ejemplo 2.
Para desarrollarlo a lo largo de la columna intermedia:
Como ya
esperábamos, obtenemos el mismo valor que en el ejemplo 2. |
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UMSNH Salvador González Sánchez 2005