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6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

 

Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de ecuaciones que satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este sistema conduce a los valores de las incógnitas.

 

Ejemplo 1

El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

 

Solución: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.

 

Ejemplo 2

Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus recíprocos sea 1.

 

Solución: Sea x= el número menor y  y= el número mayor. La suma y la diferencia de sus recíprocos son, respectivamente,

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:

 de donde  y

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:

 de donde  y

Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ .

 

 

Ejemplo 3

Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.

 

Solución: Sea x el numerador y  y el denominador. Entonces x/y = la fracción.

Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego:

Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego:

 

Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:

 

Quitando los denominadores:                

 

 

Trasponiendo y reduciendo:

                                                              

 

Restando:                                             

 

 

Ejemplo 3

Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2?

 

Solución: Sea x= el número de billetes de $2 y  y= el número de billetes de $5. Según las condiciones: x+y =33.

 

Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.

 

Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema:

Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de $5.

 

 

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UMSNH Salvador González Sánchez 2005