Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

La ecuación parece complicada; pero en realidad es una ecuación de primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente: 7x-18=0

Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de solucionar ecuaciones de primer grado con una variable.

En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma: , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

Raíz Cuadrada

Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la siguiente forma:

El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Resuelve por medio de la raíz cuadrada

Solución:

Ejemplo 2

Resuelve por medio de la raíz cuadrada

Solución:

Ejemplo 3

Resuelve por medio de la raíz cuadrada

Solución:

Factorización

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática son tales que la expresión puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:

Si a y b son números reales, entonces:

a×b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero)

Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.

Ejemplo 1

Resuelve por factorización

Solución:

Ejemplo 2

Resuelve por factorización

Solución:

Ejemplo 3

Resuelve por factorización

Solución: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto, debe de usarse otro método para encontrar la solución.

Completando el trinomio cuadrado perfecto

El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática general para que quede así: . Donde A y B son constantes. Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se explicó en la sección anterior. Así:

Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para analizar un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a para que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:

En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos lleva directamente a la regla:

Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma

se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea: o sea

Ejemplo 1

Completa el cuadrado de

Solución: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma

, por lo que obtenemos:

Ejemplo 2

Completa el cuadrado de

Solución: Sumamos ; o sea , así:

La resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de compleción del cuadrado se ilustra mejor con ejemplos

Ejemplo 3

Resuelve por el método de compleción del cuadrado

Solución:

Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro izquierdo.

Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación.

Factorizamos el miembro izquierdo.

Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

Ejemplo 4

Resuelve por el método de compleción del cuadrado

Solución:

Observa que el coeficiente de x² no es 1. En tal caso, dividimos todos los términos entre el coeficiente principal y proseguimos como en el ejemplo anterior.

Formula cuadrática

Para obtener la formula para resolver ecuaciones de segundo grado, tomamos la ecuación general y resolvemos para x, en función de los coeficientes a, b y c, por el método de compleción del cuadrado; de esta manera obtenemos una fórmula que podremos memorizar y utilizar siempre que se conozca el valor de a, b y c.

Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por 1/a ambos miembros de la ecuación. Queda así:

Sumamos –c/a a ambos miembros de la ecuación para suprimir c/a del miembro izquierdo.

Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada miembro del cuadrado de la mitad del coeficiente de x;

Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

Obtenemos esto:

Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y emplearla para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos más sencillos. Observa que b²-4ac recibe el nombre de discriminante y nos proporciona la siguiente información útil respecto de las raíces:

b²- 4ac

ax²+ bx + c = 0

Positivo

Dos soluciones reales

Cero

Una solución real

Negativo

Dos soluciones complejas

Ejemplo 1

Resuelve por la fórmula cuadrática

Solución: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.

Sustituimos la fórmula y simplificamos.