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E.P.L.C. - U.M.N.S.H.
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Demostración de algunos teoremas

TEOREMA (6T)
"En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes".

Hipótesis: ACBC
Tesis: 6A76B

8

Trácese la bisectriz CD del 6ACB. En los triángulos ADC y BDC, tenemos.

DEMOSTRACIÓN

PASO
AFIRMACIONES
RAZON
1
AC7BC Por hipótesis
2
CD7CD Identidad
3
6ADC76BDC Por construcción
4
8ADC78BDC Postulado (LAL) de los triángulos
5
6A76B Partes homologas de figuras congruentes son congruentes

 

Corolario

"todo triángulo equilátero es equiángulo".

Recíproco Teorema (6T)

"Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, los lados opuestos son congruentes, y el triángulo es por lo tanto isósceles".

Corolario

"Todo triángulo equilátero es equilátero".

TEOREMA (3Pa)
"Toda secante forma con dos paralelas, ángulos correspondientes congruentes".

6

Entonces trazamos A'B'7CD (de acuerdo con el 5º postulado de Euclides).

Hipótesis: 61762
Tesis: AB7CD

Supongamos que AB no es paralela a CD. Entonces trazamos A'B'7CD (de acuerdo con el 5º postulado de Euclides).

PASO
AFIRMACIONES
RAZONES
1
6a762 De acuerdo con el 5º postulado
2
61762 Por hipótesis
3
6a762 Transitividad del paso 1 y del 2

Esta conclusión es absurda a menos que la recta A'B' coincida con la recta AB.

Luego AB7CD como se quería demostrar.

 

TEOREMA(4Pa)
"Si dos paralelas son cortadas por una secante; los ángulos alternos-internos son congruentes".

8

Hipótesis: AB7CD y RS es un asecante y la corta en los puntos P y Q.

Tesis: 6APQ76DQP

Por O, punto medio de PQ, trácese la recta MN perpendicular a AB.

DEMOSTRACIÓN:

PASO
AFIRMACIONES
RAZONES
1

OMAB

ON5CD

Por construcción
2
6PMO76QNO71 rt.
Por construcción
3
8PMO y 8QNO son rectángulos
Por el paso 2
4
OP7OQ
Por construcción
5
6POM76QON
Ángulos opuestos por el vértice
6
8PMO78NQO
Por el paso 3, 4 y 5
7

6MPO76NQO

6APQ76DQP

Partes homologas de figuras congruentes son congruentes

 

COROLARIO 1: TEOREMA (1Pa). "Dos rectas situados en un mismo plano y perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí"

8

Hipótesis: AB1EF en R y CD1EF en S

Tesis: AB7CD

 

Demostración por reducción al absurdo

Si AB no es paralela a CD, entonces, AB y CD se intersecan un punto T y por lo tanto se determina el 8RST, en donde la suma de sus ángulos (6R+6S+6) es mayor que 180°. Lo cual es una contradicción del teorema "En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°".

Por lo tanto AB7CD

TEOREMA (2T)
"Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes"

Hipótesis: 6w es un ángulo exterior al 8ABC.

Tesis: 6w=6A+6C

2

DEMOSTRACIÓN

PASO AFIRMACIONES RAZONES
1

6w+6B=180°

Por ser 6w y6B adyacentes suplementarios
2 6A+6B+6C=180° La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°
3 6w+6B=6A+6B+6C Por ser alternos internos
4 6w=6A+6C Cancelando 6B en paso 3
 

COROLARIO
"La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360º "

 

TEOREMAS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS


TEOREMA (1T)

"La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectas"

 

TEOREMA (2T)

"Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes"

 

TEOREMA (3T)

"Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes"

 

TEOREMA (4T)

"Dos triángulos son congruentes si tiene dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, respectivamente congruentes"

 

TEOREMA (5T)

"Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes, respectivamente dos ángulos y el lado comprendido"

 

TEOREMA (6T)

"En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes"

 

RECIPROCO TEOREMA (6T)

"Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, los lados opuestos son congruentes, y el triángulo es por lo tanto isósceles"

 

TEOREMA (7T)

"La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado"

 

TEOREMA (8T)

"Si dos lados de un triángulo son desiguales al mayor lado se opone mayor ángulo"

 

RECÍPROCO TEOREMA (8T)

"Si dos ángulos de un triángulo son desiguales, a mayor ángulo se opone mayor lado".