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Poligonos

Se llama polígono a la figura plana limitada por una línea quebrada cerrada.

1101

 

En la figura el polígono ABCDE tiene cinco lados : AB, BC, CD, DE, EA y cinco vértices que son: A, B, C, D, E.

En los polígonos se tiene el mismo número de lados y de ángulos.

Perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los lados que conforman su contorno.

 

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

De acuerdo con su contorno los polígonos se clasifican en convexos y cóncavos.

Polígono convexos es aquel cuyo contorno es una línea quebrada convexa. Ejemplo: polígono ABCDE.

1101


Polígono cóncavo es aquel cuyo contorno s una línea quebrada cóncava. Ejemplo: polígono PQRST.

1202


Polígono equilátero es aquel que tiene congruentes todos sus lados.

Polígono equiángulo es aquel que tiene congruentes todos su ángulos.

Polígono regular es el polígono, que es equilátero y equiángulo a la vez.


Por el número de lados, los polígonos reciben los siguientes nombres:

Nombre No. de lados
Triángulo Tres
Cuadrilátero Cuatro
Pentágono Cinco
Hexágono Seis

Diagonales

Se llama diagonal de un polígono al segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. El triángulo es un polígono que no tiene diagonales. En el polígono ABCDE, se trazaron las diagonales AC y BE.

1103


NÚMERO DE DIAGONALES EN LOS POLÍGONOS

n=número de lados del polígono

El número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice del polígono =n-3

El número de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices del polígono 1104

EJEMPLOS:

1).- Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice.

a) en un eptágono y
b) en un decágono.

a).- si n=7; No. de diagonales = n-3 = 7-3 = 4

b).- si n=10; No. de diagonales = n-3 = 10-3 = 7


2).- Calcular el número de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices de

a) en un eptágono y
b) en un decágono.

a).- No. de diagonales 110411051106 = 14

b).- No. de diagonales 110411071108 = 35

 

Ángulo interior Es el formado por dos lados consecutivos en un polígono.

Suma de los ángulos interiores de un polígono = 180º(n-2)

1109

 

Ángulo interior de un polígono regular Como el polígono regular tiene congruentes todos su ángulos interiores, tenemos:
Valor de un ángulo interior en un polígono regular 1110

1111

 

Ángulos exteriores De un polígono son los ángulos adyacentes a los interiores, obtenidos prolongando los lados en un mismo sentido.

"La suma de los ángulos exteriores de todo polígono convexo es igual a 360º"

Suma de 4e=360º

1112

 

Ángulo exterior de un plígono regular Como en todo polígono regular los ángulos interiores son congruentes, los ángulos exteriores también serán congruentes.

Luego ángulo exterior: 4e=360º/n

COGRUENCIA DE POLÍGONOS

Dos polígonos de igual número de lados son congruentes, cuando sus lados respectivamente congruentes, y congruentes los ángulos formados por dichos lados.


ABCDE6A'B'C'D'E'

si
y
AB56A'B'
4A564A'
BC56B'C'
4B564B'
CD56C'D'
4C564C'
DE56D'E'
4D564D'
EA56E'A'
4E564E'

1113



CUADRILATEROS

Se llama cuadrilátero, al polígono de cuatro lados.

Se llaman lados opuestos de un cuadrilátero a los lados que no tienen ningún vértice en común AD y BC, AB y DC.

A los lados que no son opuestos, se les llama consecutivos. Se dice que dos vértices son opuestos, cuando no pertenecen al mismo lado.


1114

 

CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS

Los cuadriláteros se clasifican atendiendo al paralelismo de sus lados opuestos.

1115


paralelogramo Si los dos pares opuestos son paralelos.
trapecio Si uno de los lados son paralelos.
trapezoide Si ningún par de lados opuestos son paralelos.

PARALELOGRAMO

Es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos.

1116


rectángulo Si tiene iguales sus cuatro ángulos.
rombo Si tiene iguales sus cuatro lados.
cuadrado Si tiene iguales sus cuatro lados y sus ángulos.
romboide Si sus pares de lados opuestos son desiguales entre sí, así como sus pares de ángulos.


PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

  • Sus lados opuestos son iguales.
  • Sus ángulos opuestos son iguales.
  • Tienen los pares de lados opuestos iguales entre sí y paralelos.
  • Sus diagonales se dividen mutuamente en partes iguales.
    • rectángulo Las diagonales del rectángulo son iguales.
    • rombo Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí y bisectrices de los ángulos.
    • cuadrado Las diagonales del cuadrado son perpendiculares entre sí y bisectrices de los ángulos.

 

TRAPECIO

El trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos.

El cuadrilátero ABCD es un trapecio porque tiene sus lados paralelos son desiguales y se llaman bases del trapecio. La distancia MD perpendicular a la base se llama altura del trapecio.

1117

 

CLASIFICACION

1118


Trapecio rectángulo: Es el que tiene uno de los lados no paralelos perpendicular a la base 6A=6D=90°.
Trapecio isósceles: Es el que tiene congruentes los lados no paralelos.
Trapecio escaleno: Es el trapecio que no es rectángulo ni isósceles.

En todo trapecio, el segmento que une los puntos medios de lados no paralelos se llama base media o paralea media del trapecio. La paralela media de un trapecio es paralela a la base e igual a la semisuma 1119.

En el trapecio ABCD, MN es la paralela media.

1120

 

TRAPEZOIDE

Es un cuadrilátero que no tiene ninguno de los dos pares de los lados opuestos, congruentes.

 

CLASIFICACIÓN

Trapezoide simétrico Es el que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes, pero estos dos pares son desiguales. En estos trapezoides las diagonales son perpendiculares entre sí. La diagonal que une los vértices que forman los lados iguales es bisectriz de los ángulos y además es el eje de simetría de la figura.

1121

Trapezoide asimétrico Son los que no tiene las características de los simétricos.

1122

 


TEOREMAS IMPORTANTES

TEOREMA (1CU)

Todo paralelogramo tiene congruentes sus lados opuestos

 

TEOREMA (2CU)

En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes

 

TEOREMA (3CU)

Si son cuadrilátero tiene un par de lados opuestos congruentes y paralelos, el cuadrilátero es un paralelogramo

 

TEOREMA (4CU)

Las diagonales de todo paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales

 

TEOREMA (5CU)

Las diagonales del rectángulo son congruentes

 

RECIPROCO TEOREMA (1CU)

Si cada par de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, también son paralelos y el cuadrilátero es, por tanto, un paralelogramo

 

RECÍPROCO TEOREMA (2CU)

Si un cuadrilátero tiene congruentes cada para de ángulos opuestos es un paralelogramo

 

RECÍPROCO TEOREMA (3CU)

Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos congruentes y paralelos, el cuadrilátero es un paralelogramo

 

RECÍPROCO TEOREMA (4CU)

Si las diagonales de un cuadrilátero se dividen mutuamente en partes iguales, es un paralelogramo

 

RECÍPROCO TEOREMA (5 CU)

Si un paralelogramo tiene congruentes su diagonales, es un rectángulo

TEOREMA (1CU)

Todo paralelogramo tiene congruentes su lados opuestos

Hipótesis: ABCD es un paralelogramo con AB1CD y AD1BC

Tesis: AB56CD; AD56CB

1123

Trazo: Una diagonal que une A con C y forma los triángulos ABC y CDA.

Paso
Afirmaciones

Razón

1
AB1CD y AD1BC
Por hipótesis
2
AC56AC
Por identidad
3
89156892
Por ser alternos internos
4

89356894

Por ser alternos internos
5

56ABC5656CDA

Postulado (ALA) de congruencia
6
AB56CD y AD56CB
Partes homólogas de figuras congruentes