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E.P.L.C. - U.M.N.S.H.
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Triángulos Semejantes

DEFINICIÓN

Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

El signo de la semejanza es 13, de manera que la expresión 11ABC1311A'B'C' se debe leer "el triángulo ABC es semejante con el triángulo A' B' C'".

909

Si el 11ABC1311A'B'C' entonces se cumple que:

06A0606A'

06B0606B'

06C0606C'

910

 

PROPIEDADES DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS


Idéntica o reflexiva: todo triángulo es semejante a sí mismo,

11ABC1311ABC.

Reciproca o simétrica: si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero.

si11ABC1311RST, entonces 11RST1311ABC

Transitiva: si dos triángulos son semejantes a un terreno, entonces son semejantes entre sí.

si 11ABC1311DEF y11DEF1311ABC entonces 11ABC1311RST

 

POSTULADOS DE SEMEJANZA EN TRIANGULOS

(AAA) S
"Si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes son semejantes".

911

Si 06A0606R, 06B0606S, 06C0606T entonces 11ABC1311RST

(LAL) S
"Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente congruentes un ángulo, comprendido entre lados proporcionales".

912

11ABC1311RST si y solo si 06A0606R y 913


(LLL) S
"Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales".

914

11ABC1311RST si y solo si 915

 

TEOREMA (AAA) S

"Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes".

Hipótesis: En los triángulos ABC y A'B'C' se tiene: 06A0606A', 06B0606B', 06C0606C'
Tesis: 11ABC1311A'B'C'

916

Trácese: A'C'06DC y B'C'06EC, unir D con E.

Paso
Afirmaciones

Razón

1
11ABC1311DEC
Por construcción y (LAL) de congruencia
2
06D0606A'
Por definición de triángulos congruentes
3
06A'0606A
Por hipótesis
4
06D0606A
Por transitividad del paso 2 y el paso 3
5
DE10AB
Por formar ángulos correspondientes congruentes
6
11A'B'C'1311DEC
Todos los triángulos congruentes son semejantes
7
11DEC1311ABC
Corolario (2S)
8
11A'B'C'1311ABC
Transitividad del paso 6 y 7

 

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos triángulos rectángulos semejantes, cuando tienen:

1) Un ángulo agudo igual
2) Los catetos proporcionales
3) La hipotenusa y un cateto proporcionales

 

TEOREMA (4S)

"Si del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa, se determinan en ésta dos segmentos, y cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento adyacente al cateto".

Hipótesis:

1) ABC es triángulo rectángulo en C
2) CM9 AB en M

Tesis:
(AC)^2=AM·A
(CB)^2=MB·AB

917
Paso
Afirmaciones

Razón

1
CM9AB en M
Por hipótesis
2
06AMC0606CMB=90°
Por definición de perpendiculares
3
CMA, 11BMC, MCB
Definición de triángulos rectángulos

4

5

06MAC0606MCB

06MCA0606MBC

Si los dos lados de un ángulo son perpendiculares a los dos lados de otro ángulo, los ángulos son iguales.
6
11ABC1311ACM1311CBM
Por hipótesis, del paso 2 y 5, (AAA) de semejanza
7
11ABC1311ACM (AC)^2=AM·AB
Proporción entre partes homólogas de 's semejantes
8
11ABC1311CBM
(CB)^2=MB·AB
Por la razón anterior

 

TEOREMA (5S) "DE PITÁGORAS"

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

Hipótesis: ABC es triángulo rectángulo en C

Tesis: c^2=a^2+B^2

918

Trazo: CM9AB

Paso
Afirmaciones

Razón

1
CM9AB en M
Por construcción
2

a^2=c·y
b^2=c·x

Teorema (4S)
3
a^2+b^2=c·y+c·x
Sumando miembro a miembro, del paso 2

4

a^2+b^2=c(y+x)

Factorizando el paso 3
5
x+y=c
Construcción
6
a^2+b^2=c·c
Sustituyendo el paso 5 en el paso 4
7
c^2=a^2+b^2
Del paso 6

 

COROLARIO 1 (TEOREMA 1S)

"Si una recta biseca un lado de un triángulo y es paralela a otro lado, biseca también el tercer lado".

COROLARIO 2 (TEOREMA 1S)

"La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad de ese lado".